Пользователь программы должен задать п - требуемое количество десятичных знаков после запятой. Например, в выводе программы число % будет представлено как

1415

если п равно 4. Так как мы приближенно представляем вещественные числа с помощью целых, то должны обращать внимание на последние цифры результата, чтобы избежать ошибок округления, связанных с нашим приближенным вычислением функции arctan. Поэтому будем использовать коэффициент масштабирования

TenPower-\0 * (3)

и опустим последние три цифры при выводе результата. Вместо % мы на самом деле будем вычислять целое число, приблизительно равное TenPower х к.

В соответствии с формулой (1) переменная х в уравнении (2) может принимать значения, равные 1Д, где k = 18, 57 или 239. Умножая уравнение (2) на большую константу N, мы получим следующее приближение, где вторая строка содержит только целые числа:

Л arctan х = N arctan (1 /к) ~

N/k - N/{W) + N/{51) - N/(7k) + ... = Atan(k, N) (4)

Здесь Л является большим целым числом, а оператор деления / означает целочисленное деление (как в выражении 39/5 = 7). В результате многоточие в выражении (4) обозначает конечное количество членов N/(W), поэтому мы можем вычислить все эти значения. После этого из формулы (1) следует, что TenPower х к приблизительно равняется следующему большому числу:

Atan(i8, 48 х TenPower) + Atanlsi, 32 X TenPower) -Atanl239, 20 x TenPower)

Следующая программа использует это выражение в вычислениях:

largepi.cpp: Используем целые числа класса large для вычисления числа Пи.

Скомпоновать с large.срр.

ttinclude <fstream>

ttinclude <time.h>

ttinclude <stdlib.h>

ttinclude large.h

Для вычисления Пи: large Atan(uint к, const large &N) { Вычисляет N * atan(1.0/k) как целое число класса large large а = О, W = N * к, zero = О, к2 = к * к,

i = -1,

two = 2; cout к = к endl; while (w != zero) { a += (w /= k2)/(i += two);

a -= (w /= k2)/(i += two);

return a;

void PiOutput(ostream &os, ofstream &ofile,

const large &x, int n) { vector<char> s;

x.num2char(s);

Символьное представление x находится в s в обратном порядке. vector<char>::reverse iterator i; int к = 0; char ch;

for {i=s.rbeginO ; i != s.rendO; ++i) { ch = *i; OS ch;

if (ofile) ofile ch;

После десятичной точки напечатано к цифр.

if (к == 0)

{ OS . endl;

if (ofile) ofile . endl; } else

if (k % 50 == 0) { OS endl;

if (ofile) ofile endl; } else

if (k % 10 == 0) { OS ;

if (ofile) ofile ;

if (k++ == n) break;

int main() { int n, m;

cout Computation of pi. Number of decimals: ; cin >> n; m = n + 3; cout

Copy of output to file pi.txt desired (y/n)? ; char answer; cin >> answer; ofstream ofile;

if (answer == Y II answer == y)

ofile.open( pi.txt ); large TenPower, Pi; clock t tStart, tEnd; tStart = clock 0;

TenPower = power(5, m) ; TenPower = m;

Быстрее, чем TenPower = power(10, m);

Pi = (Atan(18, TenPower * 48) + Atan(57, TenPower * 32) - Atan(239, TenPower * 20))/1000;

tEnd = clock();

cout Digits of pi: endl; PiOutput(cout, ofile. Pi, n);

cout \nTime: (tEnd - tStart) ticks\n ; return 0;

Для n, существенно больших 1000, выполнение программы начинает занимать ощутимое время. Чтобы предоставить пользователю информацию о текущем состоянии расчетов, желательно показывать промежуточный вывод для каждого из следующих шагов:

1. Вычисление TenPower = Ю , где т = п + Ъ.

2. Вычисление Atan(239, TenPower * 20).

3. Вычисление Atan(57, TenPower * 32).

4. ВычислениеЛга/г( 18, TenPower* 48).

5. Перевод переменной Pi класса large в символьную строку, содержащую п десятичных цифр для вывода.

На шаге 1 мы оптимизируем наши расчеты с помощью операции сдвига влево, заметив, что Ю = Зх 2 . Отсюда мы можем вычислить значение б , а затем сдвинуть результат на т двоичных позиций влево. Поскольку время вычисления произведения чисел класса large зависит от их длины, мы можем вычислить значение 5 быстрее, чем Ю .